ebook Rozwiązujemy zadania z analizy matematycznej. Część I

W zamyśle zbiór ten ma być odmienny od innych dostępnych na rynku i powinien stanowić dla nich uzupełnienie. Kolejne wydanie pozwoliło nanieść kilka poprawek i uzupełnień.

Podstawowym jego założeniem jest, aby wszystkie zamieszczone problemy (poza tymi, które są przeznaczone do pracy własnej) były w pełni oraz szczegółowo - nawet na kilku stronach - rozwiązane, aby żadne zagadnienie nie pozostało niewyjaśnione, a żadne pytanie, jakie mogłoby nasunąć się Czytelnikowi podczas analizowania rozwiązania, nie pozostało bez odpowiedzi.

Zadania są bardzo starannie dobrane do zilustrowania danego tematu lub problemu. Świadczy to o dużym doświadczeniu dydaktycznym Autora.

Widać dużą dbałość o język, rozwiązania pisane są jasno, język jest na ogół precyzyjny, a jednocześnie żywy.

Do wszystkich zadań Autor podał rozwiązania. Jest to bardzo cenne, ponieważ w wielu (skądinąd często dobrych) zbiorach nie ma rozwiązań czy nawet odpowiedzi, przez co Czytelnik, który rozwiązał zadanie, pozostaje w uczuciu niepewności: "dobrze czy nie?"

Spis treści

Przedmowa . . .  7

Oznaczenia . . .  9

1 Badamy zbiory i relacje . . .  11

1.1 Wykazujemy proste tożsamości . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Znajdujemy zbiory na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Znajdujemy kresy zbiorów liczbowych . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Sprawdzamy, czy R jest relacją równoważności, szukamy klas abstrakcji i sporządzamy wykres . . . 30

1.5 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Badamy podstawowe własności funkcji . . .  39

2.1 Szukamy zbioru wartości i poziomic . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Sprawdzamy, czy funkcja jest iniekcją, suriekcją lub bijekcja, oraz szukamy odwzorowań odwrotnych . 45

2.3 Znajdujemy obrazy i przeciwobrazy zbiorów . . . . . . . . . . 52

2.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Definiujemy odległość w zbiorach . . .  58

3.1 Badamy, czy podana funkcja jest metryką . . . . . . . . . 58

3.2 Rysujemy kulę i odcinek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Wykorzystujemy indukcję matematyczną . . .  70

4.1 Dowodzimy podzielności liczb i wielomianów . . . . . . . 70

4.2 Wykazujemy równania i nierówności . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Dowodzimy kilku ważnych wzorów . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 Badamy zbieżność i szukamy granic ciągów . . .  95

5.1 Kilka typowych „chwytów” przydatnych przy obliczaniu granic ciągów . . . . . . . . . 95

5.2 Wykorzystujemy różne kryteria . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3 Badamy ciąg rekurencyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4 Gdy ciąg oscyluje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.5 Dowodzimy rozbieżności ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.6 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6 Zbiory otwarte, domknięte, zwarte . . .  136

6.1 Badamy otwartość i domknietość . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2 Badamy zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7 Znajdujemy granice funkcji . . .  147

7.1 Kilka typowych „chwytów” stosowanych przy obliczaniu granic funkcji . . . . . . . 147

7.2 Stosujemy podstawienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8 Badamy ciągłość i jednostajną ciągłość funkcji . . . 162

8.1 Wykazujemy ciągłość funkcji metodami Heinego i Cauchy’ego … 162

8.2 Badamy funkcje w punktach „sklejenia” . . . . . . . . . . . . 167

8.3 Badamy, czy funkcja jest jednostajnie ciągła . . . . . . . . . . 178

8.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9 Funkcje różniczkowalne . . . 185

9.1 Obliczamy pochodną funkcji z definicji . . . . . . . . . . . . . 185

9.2 Badamy różniczkowalność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10 Różniczkujemy funkcje . . .  195

10.1 Znajdujemy pochodną funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . 195

10.2 Rozwiązujemy kilka złożonych problemów . . . . . . . . . . . 199

10.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11 Wykorzystujemy pochodną do badania niektórych własności funkcji . . .  204

11.1 Wykazujemy tożsamości i nierówności . . . . . . . . . . . . . 204

11.2 Korzystamy z twierdzeń Rolle’a i Lagrange’a . . . . . . . . . 211

11.3 Badamy krzywe na płaszczyźnie — styczność, kąty przecięcia … 215

11.4 Obliczamy granice metodą de l’Hospitala . . . . . . . . . . . 223

11.5 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

12 Wyższe pochodne i wzór Taylora . . .  234

12.1 Wykazujemy formuły na pochodne wyższych rzędów metodą indukcji . . . . 234

12.2 Rozwijamy funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

12.3 Wykorzystujemy wzór Taylora do obliczania granic funkcji . . 246

12.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

13 Szukamy ekstremów i badamy przebieg funkcji . . . 252

13.1 Znajdujemy najmniejszą i największą wartość funkcji na danym zbiorze . . . 252

13.2 Badamy funkcję od A do Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

13.3 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

14 Badamy zbieżność szeregów . . .  268

14.1 Stosujemy oszacowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

14.2 Wykorzystujemy różne kryteria . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

14.3 Rozwiązujemy kilka ciekawych problemów . . . . . . . . . . . 287

14.4 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

15 Obliczamy całki nieoznaczone . . . 295

15.1 Całkujemy przez części i przez podstawienie . . . . . . . . . . 295

15.2 Stosujemy metodę wzorów rekurencyjnych . . . . . . . . . . . 308

15.3 Całkujemy funkcje wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

15.4 Całkujemy funkcje wymierne od funkcji trygonometrycznych . . . 319

15.5 Wykorzystujemy podstawienia Eulera . . . . . . . . . . . . . 323

15.6 Wykorzystujemy podstawienia hiperboliczne i trygonometryczne . . . . . . 329

15.7 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

16 Zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych . . . . 335

16.1 Znajdujemy granicę ciągu funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . 335

16.2 Badamy zbieżność jednostajną ciągu funkcji . . . . . . . . . . 339

16.3 Badamy zbieżność jednostajną szeregu funkcji . . . . . . . . . 345

16.4 Znajdujemy sumy szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

16.5 Zadania do pracy własnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Informacje o bezpieczeństwie produktu Informacje o producencie